+1) 다들 무슨 생각하지~~~ 교류의 값이 있나??

-교류의 최대값 구하기

아마 회로이론에서 교류를 공부하다 보면 처음 접하는 단어가 정현파라는 단어일것입니다. 정현파란 지난 전기기초수학에서도 이야기 했듯이 사인파(sine wave)를 말합니다. 교류가 파도 물결처럼 울렁울렁 하는 그런 모양을 나타내는 것이지요.

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전기기초 수학 - 4. 삼각함수 그래프의 형태
안녕하세요? 소망 김기사입니다. 계속해서 전기의 기초가 되는 수학 포스팅을 하게 됩니다. 프롤로그에서도...
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위의 포스팅에서 사인 곡선 그래프를 보시면 어떤 모양인지 와닿으실 겁니다. 이렇게 파도처럼 울렁울렁 거리기에 가장 꼭대기 부분이 최대값이 됩니다.

위의 그래프에서 최대값은 바로 산봉우리 같은 부분입니다. 최대값은 영어로 Max로 표현 하기에 전압의 최대값은 다음과 같이 씁니다.

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$교류의\ 최대값\ :\ \combi{V}_m$교류의 최대값 : Vm​​
최대값을 구하는 공식은 비교적 간단합니다. 바로 교류의 실효값에서 루트2를 곱해주면 됩니다. 실효값은 다음 파트에서 바로 설명 드리겠습니다만 간단하게 우리가 사용하는 220V를 생각하시면 됩니다. 따라서 220V 기준 최대값은 다음과 같습니다.

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$\combi{V}_m=\sqrt{2}V=\sqrt{2}\times 220=311.127\left[V\right]$Vm​=√2V=√2×220=311.127[V]​
우리가 쓰는 전압인 220V는 약 311.127V가 최대값임을 알 수 있습니다.

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- 교류의 실효값 구하기

앞서 설명한 단어중에 실효값(RMS)라는 것이 있습니다. 교류의 실효값이란 저항에 동일하게 평균 전력을 공급하는 직류 전력값을 말합니다. 즉 '직류 전압시 발생한 에너지=교류 전압시 발생한 에너지' 개념으로 이때 직류전압을 실효값이라 이해 하시면 됩니다. 실효값을 공칭전압이라고도 합니다.

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교류(AC)의 공칭전압 220V = 실효값 = 직류(DC) 220V

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이를 구하는 공식은 조금 까다롭습니다만 시험에 종종 출제 되므로 외우시는게 좋겠습니다.

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$전압의\ 실효값\ \ :V=\combi{V}_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int _0^T\combi{v}^2dt}$전압의 실효값 :V=Vrms​=√
1
T​∫
T
0​v2dt​
실효값은 다른말로 RMS값이라고도 합니다. 그 이유는 위의 공식에서도 제곱근(Root), 평균(Mean), 제곱(Square)의 개념이 모두 들어 있기 때문입니다.

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$제곱근\left(Root\right)\ :\sqrt{ }$제곱근(Root) :√​
$평균\left(Mean\right)\ :\ \frac{1}{T}$평균(Mean) :
1
T​​
$제곱\left(Square\right)\ :\ v^2$제곱(Square) : v2​
위의 공식에서 T는 주기를 말합니다. 주기란 주파수의 역수 개념으로 1번 진동하는 시간 개념입니다. 즉 우리가 쓰는 교류 주파수가 60Hz이므로 1주기는 다음과 같이 계산이 됩니다.

$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{60}=0.01667\left[s\right]$T=
1
f​=
1
60​=0.01667[s]​
전압의 실효값을 증명은 다음과 같습니다.

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$전력량\ W=VIt=Pt=V\times \frac{V}{R}\times t=\frac{\combi{V}^2}{R}t$전력량 W=VIt=Pt=V×
V
R​×t=
V2
R​t​
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\int _0^t\frac{\combi{v}^2}{R}dt=\frac{1}{R}\int _0^t\combi{v}^2dt$ =∫
t
0​
v2
R​dt=
1
R​∫
t
0​v2dt​
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\combi{V}^2}{R}t=\frac{1}{R}\int _0^t\combi{v}^2dt$
V2
R​t=
1
R​∫
t
0​v2dt​
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \combi{V}^2=\frac{1}{t}\int _0^t\combi{v}^2dt$ V2=
1
t​∫
t
0​v2dt​
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ V=\sqrt{\frac{1}{t}\int _0^t\combi{v}^2dt}$ V=√
1
t​∫
t
0​v2dt​
​

위의 공식을 증명하다보니 소망 김기사가 학창시절에 공부한 통계학에서 나오는 표준편차(Standard Deviation)값을 구하는 것과 너무 비슷해서 미소가 나오네요.

여튼 저런 복잡한 공식으로 나온 값이 실효값이고 이는 우리가 쓰는 공칭전압인 교류 220V가 된다는 정도만 아시면 됩니다.

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앞서 최대값에서도 이야기 했듯 최대값과 실효값 사이에는 다음과 같은 공식이 성립합니다.

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$\combi{V}_m=\sqrt{2}\combi{V}_{rms}=\sqrt{2}V$Vm​=√2Vrms​=√2V​
$V=\combi{V}_{rms}=\frac{\combi{V}_m}{\sqrt{2}}$V=Vrms​=
Vm​
√2​​
이는 전압이 아닌 전류에서도 마찬가지 입니다.

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$I=\sqrt{\frac{1}{T}\int _0^T\combi{i}^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\combi{I}_m=0.7071I_m$I=√
1
T​∫
T
0​i2=
1
√2​Im​=0.7071Im​​
​

참고로 직류에서는 대문자 V, I로 쓰고 교류에서는 소문자 v, i로 써서 이 둘을 구분해야 합니다.

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- 교류의 순시값 구하기

울렁울렁 거리는 교류. 속이 울렁울렁 거리시죠? 이제 순시값이라는 것을 계산 해보겠습니다. 일단 순시라는 단어가 무엇을 이야기 하는지 알아야 하겠지요? 순시(in a moment)란 매우 짧은 시간을 말합니다. 직류와 달리 교류는 계속해서 전압과 전류가 커졌다 작아졌다 하기에 매 시간마다 해당 시간의 전압과 전류가 다를 수 밖에 없습니다. 그러다 보니 특정 시간에 전압과 전류값을 알기 위해선 공식을 이용해서 계산을 해야 합니다.

이는 다음과 같이 계산 합니다.

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$교류전류\ i\left(t\right)=\combi{I}_m\sin \omega t$교류전류 i(t)=Im​sinωt​
$교류전압\ v\left(t\right)=V_m\sin \omega t$교류전압 v(t)=Vm​sinωt​
위의 식에서 t는 시간(time)의 개념으로 단위는 초(second)를 사용합니다. 그리고 영어 소문자 w모양의 문자는 그리스어 소문자 ω(오메가)를 말합니다. 잠깐! 여기에서 ω(오메가)는 어디에선가 본 기억이 나지 않으시나요?

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(17)인덕턴스, 커패시턴스, 리액턴스, 임피던스, 어드미턴스, 컨덕턴스, 서셉턴스란 무엇인가?
안녕하세요? 소망전기공사의 김기사 입니다. 오늘은 전기 이론 포스팅에서도 전기자격증을 준비하는 분들이...
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바로 위 포스팅에서 잠깐 다룬 내용입니다. ω(오메가)는 각주파수(각진동수)의 개념으로 원모양으로 회전운동을 하고 있는 점이 1초동안 이동한 각도를 나타냅니다. 여기에서 나오는 각도는 라디안 개념이지요.

ω=2πf와 같습니다. 여기에서 2π는 라디안 개념의 360°를 말하는 것입니다. 즉, 원이지요. f는 주파수(frequency)로 우리가 쓰는 전기는 60Hz 입니다. ω의 단위는 [rad/s]로 '라디언 퍼 세컨'으로 '초당 이동하는 각도' 개념입니다.

그런데 이 각주파수(각진동수) 뒤에 시간 t를 붙이면 각도 θ값이 나오게 됩니다.

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그런데 왜 굳이 ω를 써야 하는지 궁금할 수 있습니다. 그냥 계산하면 되지 않나요?

그냥 계산해도 되는것은 직선운동을 하는 직류에서는 가능합니다만 교류는 파도물결처럼 울렁울렁 거리기에 매 시간마다 전압과 전류가 다릅니다. 즉, 회전운동을 하기 때문에 각주파수(각진동수) ω를 사용해야 해당 시간의 전압과 전류를 정확하게 알 수 있습니다.

​


​

위의 그래프를 보시면 이해가 되시리라 생각합니다. 교류가 저런 그래프 형태로 오르내리기에 매 시간마다 전압과 전류가 다릅니다. 그러다보니 A지점과 B지점의 전압과 전류는 다를 수밖에 없는 것이지요. 그래서 이를 정확하게 계산하고자 ω를 사용하는 것입니다.

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- 교류의 평균값 구하기

드디어 마지막 코스까지 달려왔습니다. 교류의 평균값(Average)을 구해봅시다.

하지만... 현실은 녹록치 않습니다.

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왜냐하면 위의 그래프 처럼 오르락 내리락 하는 교류의 특성상 평균을 내면 '0'이 나옵니다. 왜냐하면 한주기 동안에 양의 값의 넓이와 음의 값의 넓이가 같기 때문입니다. 그렇다고 교류의 평균 전압은 0V라고 이야기 할 수 있을까요?

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그래서 교류의 평균값을 구할때는 순시값의 반주기에 대한 평균한 값으로 합니다.


​

위의 그래프를 보면 주기라는 것은 한번 올랐다가 다시 내려왔다가 원래 자리로 돌아오는 개념이라는 것을 알 수 있습니다. 즉 양의 값과 음의 값 모두 다 있는 것이 한주기입니다. 반 주기라는 것은 주기의 절반을 말하는 것으로 위의 그래프에서 반 주기는 다음과 같이 볼 수 있습니다.


즉 저렇게 양의 값만 있는 한 덩어리를 반 주기라고 볼 수 있는데 이 반 주기의 평균값이 바로 교류의 평균값입니다.

교류의 평균값을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

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$\combi{V}_{avg}=\frac{2}{T}\int _0^{\frac{T}{2}}vdt$Vavg​=
2
T​∫
T
2​
0​vdt​
$전압의\ 평균값\ :\ \combi{V}_{av}=\frac{2\combi{V}_m}{\pi }=0.637\combi{V}_m$전압의 평균값 : Vav​=
2Vm​
π​=0.637Vm​​
$\ 전류의\ 평균값\ :\ \combi{I}_{av}=\frac{2\combi{I}_m}{\pi }=0.637\combi{I}_m$ 전류의 평균값 : Iav​=
2Im​
π​=0.637Im​​
오르락 내리락 하며 최대값 개념이 2개가 있기에 본래 하나의 주기는 2π지만 반 주기 개념이라 π로 나누어줍니다.

이를 우리가 쓰는 220V 기준으로 바꾸면 다음과 같습니다.

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$220V의\ 최대값\ $220V의 최대값 ​
$\combi{V}_m=\sqrt{2}V=\sqrt{2}\times 220=311.127\left[V\right]$Vm​=√2V=√2×220=311.127[V]​
$$​
$220V의\ 평균값$220V의 평균값​
$\combi{V}_{av}=\frac{2\combi{V}_m}{\pi }=\frac{2\times 311.127}{\pi }=198.070\left[V\right]$Vav​=
2Vm​
π​=
2×311.127
π​=198.070[V]​
지금까지 내용은 아주 어려운건 아니지만 아무래도 수학이다보니까 좀 생각을 많이 해야 합니다. 그냥 단순히 공식만 외워서 문제를 풀어도 좋지만 한번쯤 그 의미를 곰곰히 생각하시면 더욱 오래 기억에 남으리라 생각합니다.

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그럼 다음 포스팅에서 또 만나겠습니다!

감사합니다.

​